Question

【题目】椭圆与轴，轴的正半轴分别交于两点，原点到直线的距离为，该椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，求线段的垂直平分线在轴上截距的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题意直线方程为，即，根据题设条件列出方程组，求解的值，即可求得椭圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，线段的垂直平分线的纵截距为0；当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆的方程，由和韦达定理，得，利用垂直平分线的方程，即可求得线段的垂直平分线在轴上截距的取值范围.

试题解析：（1）由题意，直线方程为，即，

由，得故椭圆的方程为；

（2）当直线斜率不存在时，线段的垂直平分线的纵截距为0；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

代入得………………（*）.

由，得，

设，，的中点，

根据（*）及韦达定理，有，，

于是线段的垂直平分线的方程为，

令，得中垂线的纵截距，由，得，

综上，纵截距的取值范围为.