Question

设n∈N^*，则6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余数是（　　）

• A、-2
• B、2
• C、0
• D、0或6

Answer 1

分析：由组合数的性质知6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ=（6+1）ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1，按照二项式定理展开，对n是奇数还是偶数分类讨论，即可求出结果．

解答：解：∵（6+1）ⁿ=1+6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ，则6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1，
按照二项式定理展开可得，
（8-1）ⁿ=

C

0 n

8n(-1)0

+C

1 n

8n-1(-1)1+…+

C

n n

80(-1)n，
∵前n项中均有8的倍数，故均能被8整除，
∴最后一项为

C

n n

80(-1)n=（-1）ⁿ，
∴（8-1）ⁿ-1的最后两项为（-1）ⁿ-1，
当n为奇数时，最后两项为-1-1=-2除以8的余数为6，
当n为偶数时，最后两项为1-1=0除以8的余数为0，
∴6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余数是0或6．
故选：D．

点评：本题考查二项式定理的应用，关键是根据二项式定理，灵活将6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ变形，对于选择题，有时候取特殊值是简便易行的方法．考查了学生对二项式定理的灵活应用和二项式定理的应用：整除问题，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．主要检测学生的应变能力和对定理掌握的熟练程度．属于中档题．