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    【题目】了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．

    （Ⅰ）求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；

    （Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；

    （Ⅲ）若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2 名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．

    【答案】(1)0.05，40；（2）0.4；（3）

    【解析】

    试题（1）由题中条件，为第5组的频率除以组距，因为组距为2，则可由图的每组的频率分别为：0.05，, 0.15,0.3,0.4，因为频率和为1，可求出，在由可求出样本容量。

    （2）由（1）知样本容量和优秀人数，则用古典概型的概率公式求出“掷实心球”成绩为优秀的概率。

    （3）由（1）可分别求出成绩最好和最差的两组人数，然后利用古典概型求解。

    试题解析：（1）∵组距为2，则由图的每组的频率分别为；0.05，, 0.15,0.3,0.4，

    ，,

    （2）从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（优秀包含两组）

    由古典概型：，

    （3）若成绩最好和最差的两组人数分别为；2, 4 。两组男生中随机抽取2 名学 ，共有15种取法。

    而来自同组的由7种取法。则所抽取的2名学生来自不同组的概率为：

    练习册系列答案
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    【题目】已知椭圆: 的一个焦点与抛物线的焦点重合，且过点.过点的直线交椭圆于， 两点， 为椭圆的左顶点.

    (Ⅰ)求椭圆的标准方程；

    (Ⅱ)求面积的最大值，并求此时直线的方程.

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    【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：

    分组

    频数

    频率

    [10，15）

    10

    0.25

    [15，20）

    24

    n

    [20，25）

    m

    p

    [25，30）

    2

    0.05

    合计

    M

    1

    （1）求出表中M，p及图中a的值；

    （2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；

    （3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

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    【题目】已知，且，函数，其中为自然对数的底数：

    （1）如果函数为偶函数，求实数的值，并求此时函数的最小值；

    （2）对满足，且的任意实数，证明函数的图像经过唯一的定点；

    （3）如果关于的方程有且只有一个解，求实数的取值范围.

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    【题目】某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立.规定：有一门学科获等级加1分，有两门学科获等级加2分，有三门学科获等级加3分，四门学科全获等级则加5分，记表示该生的加分数， 表示该生获等级的学科门数与未获等级学科门数的差的绝对值.

    （1）求的数学期望；

    （2）求的分布列.

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    【题目】已知椭圆的离心率,在椭圆上.

    （1）求椭圆的标准方程;

    （2）已知动直线（斜率存在）与椭圆相交于点两点,且的面积,若为线段的中点.点在轴上投影为,问：在轴上是否存在两个定点,使得为定值,若存在求出的坐标;若不存在,请说明理由.

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    【题目】以原点为圆心，半径为的圆 与直线相切.

    （1）直线过点且截圆所得弦长为求直线 的方程；

    （2）设圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条斜率分别为 的直线交圆于两点，且 ，证明：直线恒过一个定点，并求出该定点坐标.

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    【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面底面， 为的中点， 是棱上的点， ， ， .

    （Ⅰ）求证：平面平面；

    （Ⅱ）若异面直线与所成角的余弦值为，求的值.

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    【题目】下列说法正确的是（ ）

    ①设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为 ，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；

    ②关于的方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

    ③过定圆上一定点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆；

    ④已知是椭圆的左焦点，设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，则直线（为原点）的斜率的取值范围是.

    A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④

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