Question

若曲线y=

3-x2

与直线y=x+b有一个公共点，则b的取值范围是

b=

6

或-

3

≤b≤

3

；若有两个交点，则b的取值范围是

3

≤b＜

6

．

Answer 1

分析：将曲线y=

3-x2

平方整理，得它以原点O为圆心，半径为

3

的圆的上半圆．而直线y=x+b是与y=x平行或重合的一条直线，将直线y=x+b进行平移并观察两图象公共点的个数，则不难得到本题的答案．

解答：解：将曲线y=

3-x2

两边平方，得
x²+y²=3，（y≥0）
∴曲线y=

3-x2

表示以原点O为圆心，半径为

3

的圆的上半圆（含端点）
而直线y=x+b是与y=x平行或重合的一条直线，将直线y=x+b进行平移，得
①当直线y=x+b与半圆相切于点A（-

6

2

，

6

2

），
或直线y=x+b经过y轴上点B（0，

3

）与C（0，-

3

）或线段BC上一点时，
直线与半圆有且仅有一个公共点，此时b=

6

或-

3

≤b≤

3

；
②当直线y=x+b经过点B，或直线y=x+b位于点A、B之间时，
直线与半圆有两个公共点，此时

3

≤b＜

6

故答案为：b=

6

或-

3

≤b≤

3

，

3

≤b＜

6

点评：本题给出半圆与动直线，要我们探索它们公共点的个数并加以计算，着重考查了曲线方程的化简、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．