Question

（2012•河北模拟）一变压器的铁芯截面为正十字型（两个全等的长方形，它们完全重合，把其中一个长方形绕中点旋转90°后而得的组合图叫正十字型），为保证所需的磁通量，要求十字应具有4

5

cm²的面积，问应如何设计十字型宽x及y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．

Answer 1

分析：根据面积求出长，然后表示出外接圆的周长，利用导数研究函数的最小值即可．

解答：解：设外接圆的半径为R cm，则 R=

1

2

x2+y2

．
由2xy-x²=4

5

，得 y=

4 5 +x2

2x

．
要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R²取最小值．
设 f（x）=R²=

5

16

x2+

5

x2

+

5

2

（0＜x＜2R），则 f'（x）=

5

8

x-

10

x3

．
令f'（x）=0 解得x=2 或x=-2（舍去）．
当0＜x＜2 时f'（x）＜0；当x＞2 时，f'（x）＞0．
因此当x=2时，y=

5

+1，R²最小，即R最小，周长最小为π

10+2 5

cm．

点评：本题通过设间接变量，由题意得到一个函数，再确定它的最小值．间接处理所研究的目标，并用导数研究目标函数的最小值，是解本题的关键所在．