Question

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域是[2m，2n]，则称[m，n]是该函数的“倍值区间”．若函数f（x）=

x+1

+a存在“倍值区间”，则a的取值范围是（　　）

• A、（-

  17

  8

  ，+∞）
• B、[-

  17

  8

  ，+∞）
• C、（-

  17

  8

  ，-1]
• D、（-

  17

  8

  ，-2]

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：易得函数在区间[m，n]是单调递增的，由f（m）=2m，f（n）=2n，可得故m、n是方程

x+1

+a=2x的两个实数根，由此构造函数，分析出满足条件的a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=

x+1

+a为单调递增函数，
若函数f（x）=

x+1

+a存在“倍值区间”，
则f（m）=2m，且f（n）=2n，
故m、n是方程

x+1

+a=2x的两个实数根，
即a=2x-

x+1

在[-1，+∞）上有两个不等的实根，
令y=2x-

x+1

，则y′=2-

1

2 x+1

，
令y′=2-

1

2 x+1

=0，则x=-

15

16

，
当x∈[-1，-

15

16

）时，y′＜0，当x∈（-

15

16

，+∞）时，y′＞0，
故当x=-

15

16

时，y=2x-

x+1

取最小值-

7

8

，
又∵当x=-1时，y=2x-

x+1

=-2，

lim

x→∞

2x-

x+1

=+∞，
故若a=2x-

x+1

在[-1，+∞）上有两个不等的实根，
a∈（-

17

8

，-2]，
故选：D

点评：本题考查的知识点是函数的单调性，恒成立问题，利用导数求函数的最值，是函数与导数的综合应用，难度较大．