Question

已知两定点E（-

2

，0），F（

2

，0），动点P满足

PE

•

PF

=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足

PQ

=

2

MQ

，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l交曲线C于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为

2

2

，求|AB|的最大值及对应的直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出P的轨迹4方程，再确定M，P坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，结合坐标原点O到直线l的距离为

2

2

，即可求|AB|的最大值及对应的直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵动点P满足

PE

•

PF

=0，∴点P的轨迹方程为x²+y²=2．
设M（x，y），依题意可得P（x，

2

y）
代入P满足的方程可得x²+（

2

y）²=2，即曲线C：

x2

2

+y²=1．…（4分）
（Ⅱ）①若直线l垂直于x轴，此时|AB|=

3

．   …（5分）
②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=kx+m，
则原点O到直线l的距离为

|m|

1+k2

=

2

2

，整理可得2m²=1+k²．…（6分）
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意可得△＞0，
则x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2(m2-1)

1+2k2

．
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

•

(1+k2)(1+2k2-m2)

1+2k2

…（8分）
∵2m²=1+k²，
∴2（1+k²）（1+2k²-m²）=（1+k²）（2+4k²-2m²）=（1+k²）（1+3k²）≤（1+2k²）²，
等号当且仅当1+k²=1+3k²，即k=0时成立．
即2

2

•

(1+k2)(1+2k2-m2)

1+2k2

≤2，
所以k=0时，|AB|取得最大值2．
此时直线l的方程为y=±

2

2

．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查代入法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．