Question

【题目】已知函数(其中是实数)

(1)求的单调区间；

(2)若设,且有两个极值点,,求取值范围.(其中为自然对数的底数)

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为,无单调递减区间；（2）.

【解析】试题分析：（1）求导，利用导数研究函数的单调性，分类讨论，求出其单调区间；

(2) 由（1）得函数 由两个极值点，则，且，又，

，，

令可得在

上单调递减，故从而求出的取值范围

试题解析：

解:(1) 的定义域为,,

令,,对称轴,,

（i）当,即时, ,

于是,函数的单调递增区间为,无单调递减区间.

(ii) 当,即或时,方程 有两个不等实根，

①若，, 恒成立,,函数的单调递增区间为,无单调递减区间.

②若，方程 有两个不等实根，

当 时，当 ，故函数在和

上单调递增，在上单调递减

综上，当时, ,函数的单调递增区间为,无单调递减区间.

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减

(2)由（1）得函数 由两个极值点，则，且，又，

，，

于是，

令恒成立，故在

上单调递减，

的取值范围为.