Question

【题目】如图，直线()关于直线对称的直线为，直线，与椭圆分别交于点A，M和A，N，记直线的斜率为．

（1）求的值；

（2）当变化时，直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）当变化时，直线MN恒过定点．

【解析】

（1）设直线上任意一点关于直线对称点为，利用与关于直线对称可得关系式，代入斜率乘积即可得到的值；

（2）设出M，N的坐标，分别联立两直线方程与椭圆方程，求出M，N的坐标，进一步求出MN所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后由直线系方程可得当k变化时，直线MN过定点．

（1）设直线上任意一点关于直线的对称点为，

直线与直线的交点为，

∵，，∴，，

据题意，得，∴①，

由，得②，

由①②，得，

∴；

（2）设点，，由得，

∴，∴．同理有，．又∵，

∴．∴，

∴，即，

∴当变化时，直线MN恒过定点．