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    如图，正△ABC的边长为15，
    AP
    =
    1
    3
    AB
    +
    2
    5
    AC
    ，
    BQ
    =
    1
    5
    AB
    +
    2
    5
    AC
    ．
    （1）求证：四边形APQB为梯形；
    （2）求梯形APQB的面积．
    分析：（1）由已知中正△ABC的边长为15，
    AP
    =
    1
    3
    AB
    +
    2
    5
    AC
    ，
    BQ
    =
    1
    5
    AB
    +
    2
    5
    AC
    ．根据向量加法的三角形法则，我们可得
    PQ
    =
    13
    15
    AB
    ，根据数乘向量的几何意义，我们可得
    PQ
    ∥
    AB
    ，但|
    PQ
    |≠|
    AB
    |，进而根据梯形的判定定理得到四边形APQB为梯形；
    （2）根据已知条件，结合（1）中的结论，我们可得|
    PQ
    |=13，|
    AB
    |=15，梯形APQB的高h为正△ABC的AB边上高的
    2
    5
    ，代入梯形面积公式，即可求出梯形APQB的面积．
    解答：解：（1）因
    PQ
    =
    PA
    +
    AB
    +
    BQ

    =-
    1
    3
    AB
    -
    2
    5
    AC
    +
    AB
    +
    1
    5
    AB
    +
    2
    5
    AC
    =
    13
    15
    AB
    ，
    故
    PQ
    ∥
    AB
    ，
    且|
    PQ
    |=13，|
    AB
    |=15，
    |
    PQ
    |≠|
    AB
    |，
    于是四边形APQB为梯形．
    （2）设直线PQ交AC于点M，
    则
    AM
    =
    2
    5
    AC
    ，
    故梯形APQB的高h为正△ABC的AB边上高的
    2
    5
    ，
    即h=
    2
    5
    ×
    		3
    2
    ×15=3
    		3
    ．
    从而，梯形APQB的面积为
    1
    2
    (13+15)×3
    		3
    =42
    		3
    ．
    点评：本题考查的知识点是平面向量加法的三角形法则，数乘向量的几何意义，梯形面积公式，其中（1）的关键是根据向量加法的三角形法则，求出
    PQ
    =
    13
    15
    AB
    ，进而根据数乘向量的几何意义，分析PQ边与AB的关系，（2）的关键是根据已知求出梯形的上、下底边长及高的长度．
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    ．

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