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    设相交于G.，，且，所以如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，求异面直线A1C1与BD1的距离.


    解析:

    本题的关键是画出A1C1与BD1的公垂线，连B1D1交A1C1于O，在平面BB1D1内作OM⊥BD1，则OM就是A1C1与BD1的公垂线，问题得到解决.

    解  连B1D1交A1C1于O，作OM⊥BD1于M.

    ∴  A1C1⊥B1D1，BB1⊥A1C1，BB1∩B1D1＝B1.

    ∴  A1C1⊥平面BB1D1.  ∴  A1C1⊥OM，又OM⊥BD1.

    ∴  OM是异面直线A1C1与BD1的公垂线.

    在直角ΔBB1D1中作B1N⊥BD1于N.

    ∵  BB1·B1D1＝B1N·BD1，a·a＝B1N·a，

    ∴  B1N＝a,OM＝B1N＝a.

    故异面直线A1C1与BD1的距离为a.

    评析：作异面直线的公垂线一般是比较困难的，只有熟练地掌握线、线垂直，线、面垂直的关系后才能根据题目所给条件灵活作出.本题在求OM的长度时，主要运用中位线和面积的等量关系.

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