Question

【题目】已知椭圆的长轴与短轴比值是2，椭圆C过点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点作圆x2+y2=1的切线交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2），m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）；S△AOB的最大值为1

【解析】

(1) 由已知可知,及椭圆C过点,代入椭圆方程即可求得,进而得出结果.

(2) 由题设知切线的斜率存在,设切线的方程为，与椭圆方程联立求得弦长,由于与圆相切,可得=1,化简可得,利用基本不等式化简即可求得结果.

解：（1）∵椭圆的长轴与短轴比值是2，

∴，设椭圆C的方程为：，

∵椭圆C过点，

∴，∴，

∴椭圆C的标准方程为.

（2）由题意知,.

由题设知切线的斜率存在，设切线的方程为，

由，得，

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），

则，

又∵与圆相切，

∴=1，，

∴=

=

=，

∴,

∴（当且仅当时取等号）

∴当时，S△AOB的最大值为1.