Question

已知向量a=(1，1)，b=(1，0)，c满足a·c=0，且|a|=|c|，b·c＞0.

(1)求向量c；

(2)若映射f：(x，y)→(x′，y′)=xa+yc；

①求映射f下(1，2)的原象；

②若将(x，y)作点的坐标，问是否存在直线l使得直线l上任一点在映射f的作用下，仍在直线上，若存在求出l的方程，若不存在说明理由.

Answer 1

解：(1)设c=(x，y)，则

∴∴c=(1，-1).                                                    

(2)①x(1,1)+y(1,-1)=(1,2),

∴

∴原象是(,-).                                                           

②假设l存在，设其方程为y=kx+b(k≠0),

又xa+yc=(x+y，x-y).

∵点(x+y,x-y)在直线上,

∴x-y=k(x+y)+b,

即(1+k)y=(1-k)x-b与y=kx+b表示同一直线.

∴b=0,k=-1±.

∴直线l存在，其方程为y=(-1±)x.