Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F恰好是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  -

  2

• B．

  2

  3

• C．

  6

  3

• D．

  2

  -1

Answer 1

分析：先求出抛物线y²=2px（p＞0）的焦点坐标，再利用两条曲线的交点的连线过F，求出其中一个交点的坐标，最后利用定义求出2a和2c就可求得椭圆的离心率．

解答：解：因为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F为（

p

2

，0），设椭圆另一焦点为E．
当x=

p

2

时代入抛物线方程得y=±p．又因为PQ经过焦点F，所以P（

p

2

，p）且PF⊥OF．
所以|PE|=

( p 2 )2+( p 2 )2+p2

=

2

p，|PF|=p．|EF|=p．
故2a=

2

p+p，2c=p，
∴e=

2c

2a

=

2

-1．
故选D．

点评：本题给出椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点，并且两曲线的通径合在一起，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与简单几何性质和抛物线的标准方程等知识点，属于中档题．