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    已知动点到点的距离等于它到直线的距离．

    （1）求点的轨迹的方程；

    （2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．

    设线段,的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.

    解：（1）设动点的坐标为，由题意得，，

    化简得，所以点的轨迹的方程为．-------------------5分

    （2）设两点坐标分别为，，则点的坐标为．

    由题意可设直线的方程为 ，

    由  .       ---------------7分

    .

    因为直线与曲线于两点，所以，

    ．所以点的坐标为.   ------------9分

    由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为. --10分

    当时，有，此时直线的斜率.  所以，直线的方程为，------------------11分

    整理得. 于是，直线恒过定点；  -----12分

    当时，直线的方程为，也过点．

    综上所述，直线恒过定点．

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    已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
    （Ⅰ）求曲线C的方程；
    （Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．
    （ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
    （ⅱ）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2012届浙江省台州中学高三上学期第一次统练理科数学 题型：解答题

    （本题满分10分）已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线 的距离小．
    （1）求曲线的方程；
    （2）动点在直线 上，过点作曲线的切线，切点分别为、．
    （ⅰ）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
    （ⅱ）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形（点也在直线上）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年浙江省高三上学期第一次统练理科数学 题型：解答题

    （本题满分10分）已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线 的距离小．

    （1）求曲线的方程；

    （2）动点在直线 上，过点作曲线的切线，切点分别为、．

    （ⅰ）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；

    （ⅱ）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形（点也在直线上）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

     

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    科目：高中数学 来源：浙江模拟 题型：解答题

    已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
    （Ⅰ）求曲线C的方程；
    （Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．
    （ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
    （ⅱ）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：高考数学最后冲刺必读题解析30讲（22）（解析版） 题型：解答题

    已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
    （Ⅰ）求曲线C的方程；
    （Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．
    （ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
    （ⅱ）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

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