Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若.

（ⅰ）求函数的极小值；

（ⅱ）求函数在点处的切线方程.

（Ⅱ）若函数在上有极值，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ），（ⅱ）； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）（ⅰ）若，可得定义域，对其求导，令，得其单调性，进而求得极小值；

（ⅱ）求得，与坐标，由直线的点斜式表示切线方程；

（Ⅱ）求其求导，构造，将已知在上有极值，等价于在上两个不等根，对方程参变分离，由不等式的简单性质得到的物质范围.也可以在函数图象中利用特殊点位置与判别式求得答案.

（Ⅰ）（ⅰ）若，则，其定义域为

.

当时，；当时，.

所以函数有极小值

（ⅱ），，切线方程为，即

（Ⅱ）由题可知，.

法一：记.

若在上有极值，等价于在上两个不等根.

由得，

所以.

因为，所以.经检验当时，方程无重根.

故函数在上有极值时a的取值范围为.

法二：

若在上有极值，等价于在上两个不等根,则

①，

②

③若，得，经检验不成立

④若，得，经检验不成立

综上所述，a的取值范围为.