Question

【题目】已知函数：f（x）=﹣x3﹣3x2+（1+a）x+b（a＜0，b∈R）．
（1）令h（x）=f（x﹣1）﹣b+a+3，判断h（x）的奇偶性，并讨论h（x）的单调性；
（2）若g（x）=|f（x）|，设M（a，b）为g（x）在[﹣2，0]的最大值，求M（a，b）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）=﹣（x﹣1）3﹣3（x﹣1）2+（1+a）x+2，

h（﹣x）=（x+1）3﹣3（x+1）2﹣x（a+1）+2，

故h（x）是非奇非偶函数；

h′（x）=﹣3x2+a+4，

a+4≤0即a≤﹣4时，h′（x）≤0，

h（x）在R递减；

a+4＞0即a＞﹣4时，

令h′（x）＞0，解得：﹣ ＜x＜ ，

令h′（x）＜0，解得：x＜﹣ 或x＞ ，

故h（x）在（﹣∞，﹣ ）递减，在（﹣ ， ）递增，

在（ ，+∞）递减

（2）解：g（x）=|f（x）|=|x3+3x2﹣（1+a）x﹣b|，（a＜0），

则f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，

令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，

则h′（t）=3t2﹣（a+4），t∈[﹣1，1]，

①当a≤﹣4时，h′（t）≥0恒成立，

此时函数为增函数，

则M（a，b）=max{|h（﹣1）|，|h（1）|}=max{|2a﹣b+6|，|b|}

②当﹣4＜a＜0时，h（t）有两个极值点t1，t2，不妨设t1＜t2，

（i）当﹣1≤a＜0时，t1=﹣ ≤﹣1，t2= ≥1，

此时函数为减函数，

则M（a，b）=max{|h（﹣1）|，|h（1）|}=max{|2a﹣b+6|，|b|}

（ii）当﹣4＜a＜﹣1时，t1=﹣ ＞﹣1，t2= ＜1，

此时函数在[﹣1，t1]上递增，在[t1，t2]上递减，在[t2，1]上递增，

则M（a，b）=max{|2a﹣b+6|，|b|，|2（ ）3+a﹣b+3|，|﹣2（ ）3+a﹣b+3|}

则M（a，b）≥min{|a+3|，2（ ）3}，

由|a+3|=2（ ）3得：a=﹣1，或a=﹣ ，

当a=﹣1时，M（a，b）≥2，

当a=﹣ 时，M（a，b）≥ ，

故当a=﹣ ，b=﹣ 时，M（a，b）的最小值为

【解析】（1）根据已知求也函数h（x）的解析式，结合函数奇偶性的定义，可判断函数的奇偶性，求导，可分析出h（x）的单调性；（2）若g（x）=|f（x）|，则f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，结合导数法分类讨论，可得M（a，b）的最小值．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．