Question

已知椭圆的左焦点为F₁（-1，0），点F₁关于直线16x+12y-9=0对称点在椭圆上．
（I）求椭圆方程；
（II）点M（x，y）在圆x²+y²=b²上，M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P、Q两点，问|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中椭圆的左焦点为F₁（-1，0），可得c值，点F₁关于直线16x+12y-9=0对称点在椭圆上可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别求出|F₂P|，|F₂Q|，结合相切的条件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得结论．
解答：解：（I）∵右焦点为F₂（1，0）∴c=1
左焦点为F₁（-1，0），点
在椭圆上
∴a=2，
所以椭圆方程为-------------------------------------（4分）
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）


∴--------------------------------------------------------．（7分）
连接OM，OP，由相切条件知：

∴---------------------------------------------------．（10分）
同理可求

所以|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=2+2=4为定值．-------------------------------------------（12分）
点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．