Question

若A₁，A₂，…，A_m为集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N*）的子集，且满足两个条件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②对任意的{x，y}A，至少存在一个i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}；
则称集合组A₁，A₂，…，A_m具有性质P。
如图，作n行m列数表，定义数表中的第k行第l列的数为，

（Ⅰ）当n=4时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；
集合组1：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合组2：A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}；
（Ⅱ）当n=7时，若集合组A₁，A₂，A₃具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）当n=100时，集合组A₁，A₂，…，A_t是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及|A₁|+|A₂|+…+|A_t|的最小值。（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的个数）

Answer 1

解：（Ⅰ）集合组1具有性质P， 所对应的数表为： 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 集合组2不具有性质P，因为存在， 有， 与对任意的，都至少存在一个i∈{1，2，3}，有或{y}矛盾， 所以集合组不具有性质P。 （Ⅱ） 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ； （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （Ⅲ）设所对应的数表为数表M， 因为集合组为具有性质P的集合组，所以集合组满足条件①和②， 由条件①：， 可得对任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有， 所以，即第x行不全为0， 所以由条件①可知数表M中任意一行不全为0； 由条件②知，对任意的，都至少存在一个i∈{1，2，3，…，t}， 使或{y}， 所以一定是一个1一个0，即第x行与第y行的第i列的两个数一定不同； 所以由条件②可得数表M中任意两行不完全相同； 因为由0，1所构成的t元有序数组共有2t个，去掉全是0的t元有序数组，共有个， 又因数表M中任意两行都不完全相同，所以，所以t≥7， 又t=7时，由0，1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个， 选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P，所以t=7； 因为等于表格中数字1的个数， 所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少， 而t=7时，在数表M中， 1的个数为1的行最多7行； 1的个数为2的行最多行； 1的个数为3的行最多行； 1的个数为4的行最多行； 因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1， 所以此时表格中最少有个1， 所以的最小值为304。