Question

已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比
数列．
（1）若，，求数列的前项和；
（2）若存在正整数，使得．试比较与的大小，并说明理由．

Answer 1

(1);(2) 当时，；当时，；当时，．

试题分析：(1)利用基本量思想求解两个数列的通项公式，然后才有错位相减法求解数列的前项和；（2）利用等量关系关系，减少公差d，进而将与进行表示，然后才有作差比较进行分析，注意分类讨论思想的应用.
试题解析：（1）依题意，，
故，
所以，                                       3分
令，            ①
则，   ②
①②得，，

，
所以．                                          7分
（2）因为，
所以，即，
故，
又，                                                         9分
所以


11分
（ⅰ）当时，由知



，                                                  13分
（ⅱ）当时，由知



，
综上所述，当时，；当时，；当时，．      16分
（注：仅给出“时，；时，”得2分．）
方法二：（注意到数列的函数特征，运用函数性质求解）
(易知)，
令，有，，
令，则．记．
若，则在上，函数在上为单调增函数，则，
这与相矛盾；
若，则在上，函数在上为单调减函数，则，
这与相矛盾；
所以，．
故在上，函数在上为单调减函数，
在上，函数在上为单调增函数．
因为，所以，当时，，当时，，
所以，当时，，即，
当时，，即，
综上所述，当时，；当时，；当时，．