Question

 [番茄花园1]  以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。

（1）求椭圆的离心率；

（2）求直线AB的斜率；

（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值。

 

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 [番茄花园1]26.

Answer 1

【答案】

 [番茄花园1]  解：（1）由//且，得，从而

整理，得，故离心率

（2）解：由（1）得，所以椭圆的方程可写为

设直线AB的方程为，即.

由已知设，则它们的坐标满足方程组

消去y整理，得

依题意，

而               ①

            ②

由题设知，点B为线段AE的中点，所以

                 ③

联立①③解得，

将代入②中，解得.

（3）解法一：由（II）可知

当时，得，由已知得.

线段的垂直平分线的方程为直线与x轴的交点

是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.

直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组

， 由解得故

当时，同理可得.

解法二：由（II）可知

当时，得,由已知得

由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，

且，所以四边形为等腰梯形.

由直线的方程为,知点H的坐标为.

因为，所以，解得m=c（舍），或.

则，所以.

当时，同理可得

 

 

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 [番茄花园1]26.