Question

【题目】如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.

用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；

求当为何值时，栈道总长度最短.

Answer 1

【答案】，；当时，栈道总长度最短.

【解析】

连，，由切线长定理知：，，，，即，，

则，，进而确定的取值范围；

根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.

解：连，，由切线长定理知：，，

，又，，故，

则劣弧的长为，因此，优弧的长为，

又，故，，即，，

所以，，，则；

，，其中，，

	-	0	+
	单调递减	极小值	单调递增

故时，

所以当时，栈道总长度最短.