Question

【题目】已知函数f（x）=sin+cos ， x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求函数f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间；
（2）函数f（x）=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f（x）的图象．

Answer 1

【答案】
解：f（x）=sin+cos=2sin（+）
（1）最小正周期T==4π．令z=+，函数y=sinz的单调递增区间是[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z．
由-+2kπ≤+≤+2kπ，得-+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z．
取k=0，得-≤x≤，而[-，][﹣2π，2π]
函数f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间是[-，]．
（2）把函数y=sinx图象向左平移，得到函数y=sin（x+ ）的图象，
再把函数y=sin（x+ ） 的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（+）的图象，然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得到函数 y=2sin（+）的图象．
【解析】将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=2sin（+）,
（1）利用-+2kπ≤+≤+2kπ，且x∈[﹣2π，2π]，对k合理取值求出单调递增区间;
（2）该函数图象可由y=sinx的图象，先向左平移 ， 再图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，，即得到函数 y=2sin（+）.
【考点精析】关于本题考查的函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，需要了解图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能得出正确答案．