Question

5．已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数不等式，求出函数的单调区间；
（2）分离参数a，令$h（x）=\frac{x}{lnx}，则{h^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=2时，${f^'}（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}，令{f^'}（x）＞0$，得x＞2，
所以函数f（x）得单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（0，2）…（4分）
（2）对于$x∈（1，+∞）时f（x）＞0恒成立?a＜\frac{x}{lnx}对于x∈（1，+∞）恒成立$$?a＜{（\frac{x}{lnx}）_{min}}$…（6分）
令$h（x）=\frac{x}{lnx}，则{h^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，由h'（x）＞0⇒x＞e，
所以h（x）的单调增区间为（e，+∞），单调递减区间为（1，e）…（10分）
∴h（x）_min=h（e）=e，∴a＜e，a的取值范围为（-∞，e）…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．