Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点的动直线与椭圆的两个交点为，求的面积S的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根据直线与圆相切可得，再根据离心率得，（2）设动直线方程，并联立直线和椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式得，根据点到直线距离公式得三角形的高，代入三角形面积公式得，最后结合基本不等式求取值范围.

（1）由离心率为,

因为椭圆C的长轴为直径的圆与直线相切，

所以,

即椭圆的标准方程.

（2）设动直线方程为，点,且，

联立直线和椭圆方程，

消元得，

则，

因为原点到直线距离为，

则的面积，

令，则,

又（当且仅当时取等号），则，

即的面积S的取值范围为.