Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：＝1(a>b>0)的左焦点为F₁(－1，0)，且点P(0，1)在C₁上．
(1)求椭圆C₁的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂：y²＝4x相切，求直线l的方程．

Answer 1

(1)＋y²＝1； (2)y＝x＋或y＝－x－.

解析试题分析：(1)由于椭圆的方程是标准方程，知其中心在坐标原点，对称轴就是两坐标轴，所以由已知可直接得到半焦距c及短半轴b的值，然后由 求得的值，进而就可写出椭圆的方程；(2)由已知得，直线l的斜率显然存在且不等于0，故可设直线l的方程为y＝kx＋m，然后联立直线方程与椭圆C₁的方程，消去y得到关于x的一个一元二次方程，由直线l同时与椭圆C₁相切知，其判别式等于零得到一个关于k,m的方程；再联立直线l与抛物线C₂的方程，消去y得到关于x的一个一元二次方程，由直线l同时与抛物线C₂相切知，其判别式又等于零，再得到一个关于k,m的方程；和前一个方程联立就可求出k,m的值，从而求得直线l的方程．
试题解析：(1)因为椭圆C₁的左焦点为F₁(－1，0)，
所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程＝1，
得＝1，即b＝1. 所以a²＝b²＋c²＝2.
所以椭圆C₁的方程为＋y²＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y并整理得(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.
因为直线l与椭圆C₁相切，
所以Δ₁＝16k²m²－4(1＋2k²)(2m²－2)＝0.
整理，得2k²－m²＋1＝0，                                   ①
由消y，得
k²x²＋(2km－4)x＋m²＝0.
∵直线l与抛物线C₂相切，
∴Δ₂＝(2km－4)²－4k²m²＝0，整理，得km＝1，                    ②
联立①、②，得或
∴l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
考点：１．椭圆的方程；２．直线与圆锥曲线的位置关系．