Question

有以下4个命题：
①A={x∈R|x²+1=0}，B={x∈R|4＜x＜3}，则A=B．
②已知函数f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上增函数，则在（-∞，0）上也是增函数．；
③函数f（x）=x²-（k²+3k+9）x+2（k是实常数）在区间（-∞，-2010）是减函数．
④设f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，则g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2．
其中正确的命题序号是

③④

．

Answer 1

分析：①A={x∈R|x²+1=0}=∅，B={x∈R|4＜x＜3}，则A≠B；
②已知函数f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上增函数，则在（-∞，0）上是减函数；
③判断函数f（x）=x²-（k²+3k+9）x+2（k是实常数）的开口及对称轴；
④分别计算出g（2x）与[f（x）]²+[g（x）]²．

解答：解：①由于A={x∈R|x²+1=0}=∅，B={x∈R|4＜x＜3}，则A≠B，故①错；
②由于函数f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上增函数，则在（-∞，0）上是减函数．故②错；
③由于函数f（x）=x²-（k²+3k+9）x+2（k是实常数）开口向上，
且对称轴为x=-

-(k2+3k+9)

2

=

k2+3k+9

2

x=

k2+3k+9

2

=

(k+ 3 2 )2+ 27 4

2

≥

27

8

＞-2010
故函数f（x）=x²-（k²+3k+9）x+2在区间（-∞，-2010）是减函数，即③正确；
④由于f(x)=

ex-e-x

2

，g(x)=

ex+e-x

2

，则g(2x)=

e2x+e-2x

2

，
[f(x)]2+[g(x)]2=

e2x-2+e-2x

4

+

e2x+2+e-2x

4

=

e2x+e-2x

2

=g(2x)，故④正确．
故答案为 ③④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，函数求值，属于基础题．