Question

【题目】下列说法中，正确的有 ． （写出所有正确说法的序号） ①已知关于x的不等式mx2+mx+2＞0的角集为R，则实数m的取值范围是0＜m＜4．
②已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， 则Sn、S2n﹣Sn、S3n﹣S2n也构成等比数列．
③已知函数 （其中a＞0且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程 恰有两个不相等的实数解，则 ．
④已知a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，则 + 的最小值为 ．
⑤在平面直角坐标系中，O为坐标原点，| |=| |=| |=1， + + = ，A（1，1），则 的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】④⑤
【解析】解：①当m=0时，关于x的不等式mx2+mx+2＞0的解集为R，当m≠0时， 要使不等式mx2+mx+2＞0的解集为R，则 ，解得0＜m＜8，综上，m的范围为0≤m＜8，∴①错误；②等比数列{an}的前n项和为Sn ， 则Sn、S2n﹣Sn、S3n﹣S2n也构成等比数列错误，如1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1的前两项和、中两项和及后两项和，组成的数列为0，0，0．显然不是等比数列；③∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞，0）上单调递减，
y=loga（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴ ，解得 ≤a≤ ．
作出y=|f（x）|和y=2﹣ 的函数草图如图所示：
∵|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，
∴3a＜2，即a＜ ．
综上， ≤a＜ ，故③错误；④∵a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，∴ + = = =f（a），0＜a＜2．
令f′（a）= ＞0，解得4﹣2 ＜a＜2，此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0，解得0＜a＜4﹣2 ，此时函数f（a）单调递减．
∴当且仅当a=4﹣2 时，函数f（a）取得极小值即最小值，f（4﹣2 ）= ，故④正确；⑤由| |=| |=| |=1，可知O为外心，由 + + = ，可知O又为重心．
则有△BCD为圆O：x2+y2=1的内接等边三角形，
即有 =（ ） = ﹣ =| || |cos120°﹣| || |cos＜ ＞
=﹣ ﹣ cos＜ ＞，由于0≤＜ ＞≤π，
则﹣1≤cos＜ ＞≤1，
即有 ∈ ，故⑤正确．
∴正确命题是④⑤．
所以答案是：④⑤．

【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．