Question

（2008•静安区一模）（理）根据统计资料，某工艺品厂每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=

2

10-x

(x∈N，1≤x≤58)（日产品废品率=

日废品(件)数

日产量(件)数

）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．该车间的日利润T按照日正品赢利额减去日废品亏损额计算．
（1）将该车间日利润T（千元）表示为日产量x（件）的函数；
（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润额最大？最大日利润额是几千元？

Answer 1

分析：（1）由于车间的日利润T按照日正品赢利额减去日废品亏损额计算．故分别表示出日正品赢利额，日废品亏损额，即可得答案；
（2）由于所得函数是分式函数，故利用换元法，求最值．令10-x=t，则2≤t≤9，进而利用基本不等式求函数的最大值．

解答：（理）解：（1）由于车间的日利润T按照日正品赢利额减去日废品亏损额计算．故T=2x(1-p)-x•p•1=

14x-2x2

10-x

(x∈N，1≤x≤8)；
（2）令10-x=t，则2≤t≤9，t∈N，T=2[13-(t+

30

t

)]，
因为t+

30

t

≥2

30

，当且仅当t=

39

t

，即t=

30

时取等号．而t∈N，
所以当t=5或t=6时，t+

30

t

有最小值11，
从而T有最大值4，此时，x=4或5
即车间的生产量定为4件（或5件）时，该车间可获得最大利润4千元．

点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查函数模型的建立，考查利用函数思想解决实际问题，关键是实际问题向数学问题的转化，即建模，同时又用来解决实际问题．