Question

14、如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D为CC₁的中点，AB₁与A₁B相交于点O，连接OD．
（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（1）欲证OD∥平面ABC，根据平面与平面平行的性质定理可知只需证平面OED与平面ABC平行，取BB₁的中点E，连接ED，EO，OE∥平面ABC，同理DE∥平面ABC，又OE∩DE=E，而OD?平面OED，满足定理所需条件；
（2）欲证AB₁⊥平面A₁BD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB₁与平面A₁BD内两相交直线垂直，而AB₁⊥A₁B，AB₁⊥DO，A₁B∩DO=O，满足定理所需条件．

解答：证明：（1）取BB₁的中点E，连接ED，EO，
则OE∥AB，又OE?平面ABC，AB?平面ABC，
∴OE∥平面ABC，同理DE∥平面ABC
又OE∩DE=E∴平面OED∥平面ABC
而OD?平面OED，∴OD∥平面ABC

（2）连B₁D，AD，∵ABB₁A₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D为CC₁的中点，
∴Rt△ACD≌Rt△B₁C₁D，∴A₁D=BD
又O是AB₁的中点，∴AB₁⊥DO，
∵A₁B∩DO=O∴AB₁⊥平面A₁BD

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定、以及直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．