Question

（本题满分12分）

已知函数

（I）若在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

（II）若，若函数在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数的取值范围；

（III）设函数的图象C₁与函数的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于M、N两点，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（I）

    ∴依题知恒成立，

    ，

        ………………4分

   （II）函数在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程

    ，在[1，3]上恰有两个相异实根。

    令

   

   

故   ………………8分

   （III）设点

则PQ的中点R的横坐标

C₁在点M处的切线的斜率为

C₂在点N处的切线的斜率为，

假设C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则，

设   ………………①

令

则

上单调递增，

故   ………………②

∵①与②矛盾，

∴假设不成立，故C₁点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行。  …………12分