Question

【题目】已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．

（1）证明：⊥平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成的角的正弦值为.

【解析】

（1）根据直线与平面垂直的判定定理，要证平面，只需证与平面两条相交直线垂直。根据已知条件可求与的长度，然后跟据勾股定理可证.。同理可得.，进而可得平面。（2）要求直线与平面所成的角的正弦值，应先作角。由条件可得平面平面 。所以过点作，交直线于点，连结. 可知是与平面所成的角.根据条件可求的三边长，进而可由余弦定理求得 ，然后可求。进而求得，在中即可求得结果。

（1）由得，

所以.

故.

由， 得，

由得，

由，得，所以，故.

因此平面.

（2）如图，过点作，交直线于点，连结.

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是与平面所成的角.

由得，

所以，故.

因此，直线与平面所成的角的正弦值是.

方法二：

（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意知各点坐标如下：

因此

由得.

由得.

所以平面.

（2）设直线与平面所成的角为.

由（Ⅰ）可知

设平面的法向量.

由即可取.

所以.

因此，直线与平面所成的角的正弦值是.