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    （2008•闸北区二模）如图，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，A1、A2为椭圆C的左、右顶点．
    （Ⅰ）设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值；
    （Ⅱ）若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C的标准方程；
    （Ⅲ）若直线l：y=kx+m与（Ⅱ）中所述椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
    分析：（I）设点P的坐标（x，y），再构造函数f（x）=|PF1|2，代入两点间的距离公式并进行化简，利用二次函数的性质和x的范围，求出函数的最值以及对应的x的取值，即得到证明；
    （Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，再由b2=a2-c2求出b，进而求出椭圆的标准方程；
    （Ⅲ）假设存在满足条件的直线，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程进行整理，化简出一个二次方程，再由题意和韦达定理列出方程组，根据题意得kAA2•kBA2=-1，代入后得列出关于m的方程，进行化简、求解，注意对应题意进行验证．
    解答：解：（Ⅰ）设p（x，y），则
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，且F1（-c，0），
    设f（x）=|PF1|2，则f（x）=（x+c）2+y2=
    c2
    a2
    x2+2cx+c2+b2    ，
    ∴对称轴方程x=-
    a2
    c
    ，由题意知，-
    a2
    c
    ≤-a    恒成立，
    ∴f（x）在区间[-a，a]上单调递增，
    ∴当x取-a、a时，函数分别取到最小值与最大值，
    ∴当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值；
    （Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3，
    ∴椭圆的标准方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （Ⅲ）假设存在满足条件的直线l，设A（x1，y1），B（x2，y2），
    联立
    y=kx+m
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1.
    得，（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，则
    △=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)=3+4k2-m2＞0
    x1+x2=-
    8mk
    3+4k2
    x1•x2=
    4(m2-3)
    3+4k2

    又∵y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
    3(m2-4k2)
    3+4k2
    ，
    ∵椭圆的右顶点为A2（2，0），AA2⊥BA2，∴kAA2•kBA2=-1，
    即
    y1
    x1-2
    •
    y2
    x2-2
    =-1    ，∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，
    ∴
    3(m2-4k2)
    3+4k2
    +
    4(m2-3)
    3+4k2
    +
    16mk
    3+4k2
    +4=0    ，
    化简得，7m2+16mk+4k2=0，
    解得，m1=-2k，m2=-
    2k
    7
    ，且均满足3+4k2-m2＞0，
    当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
    当m2=-
    2k
    7
    时，l的方程为y=k(x-
    2
    7
    )    ，直线过定点(
    2
    7
    ，0)    ．
    所以，直线l过定点，定点坐标为(
    2
    7
    ，0)    ．
    点评：本题考查椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了利用构造函数的方法处理最值问题，主要利用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力，最后对应题意进行验证这是易错的地方．
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