Question

【题目】如图所示，在三棱柱中，是中点，平面，平面与棱交于点，，．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若与平面所成角的正弦值为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）先证明平面，再证明．（2）建立空间直角坐标系，设，，利用向量证明，即证.(3)先利用向量法求得，再解方程即得的值.

（1）证明：在三棱柱 中，

侧面 为平行四边形，

所以 ．

又因为 平面，平面，

所以 平面．

因为 平面，且平面平面，

所以 ．

（2）证明：在△中，因为 ，是的中点， 所以．

因为平面，如图建立空间直角坐标系．

设，，在△中 ，，

所以 ，所以 ，，，．

所以 ，．

所以 ，所以 ．

（3）解：因为 ， 所以 ，即．

因为 ，所以 ．

设平面的法向量为 ，

因为 ，即，

令 ，则，，

所以 ．

因为

所以 ，即 ，

所以 或，即 或．