Question

已知函数f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且f（x）+g（x）=e^x+x²．
（I）求f（x）和g（x）的解析式；
（II）若h（x）=f（x）-

1

2ex

-x²-

1

2

x，求当x为何值时，h（x）取到最值，最值是多少？

Answer 1

分析：（I）根据函数f（x）、g（x）的奇偶性及f（x）+g（x）=e^x+x²，可得另一方程，联立两方程即可求得f（x）、g（x）；
（II）由（I）表示出h（x），利用导数即可求得h（x）的最小值；

解答：解：（I）因为函数f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
所以f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
又因为f（x）+g（x）=e^x+x²，①
所以f（-x）+g（-x）=e^-x+x²，即f（x）-g（x）=e^-x+x²，②
由①②得，f（x）=

1

2

ex+

1

2

e-x+x2，g（x）=

1

2

ex-

1

2

e-x．
（II）h（x）=

1

2

e^x-

1

2

x，则h′（x）=

1

2

ex-

1

2

，
令h′（x）=0得x=0，
当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增，
所以当x=0时，h（x）取得极小值，也为最小值，h（x）_min=h（0）=

1

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查利用导数求函数的最值问题，属中档题．