Question

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC、AC的中点，SA=SC=，BC=AC，∠ASC=∠ACB=90°．
（1）求证：OE∥平面SAB；
（2）若点F在线段BC上，问：无论F在BC的何处，是否都有OE⊥SF？请证明你的结论；
（3）求二面角B-AS-C的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据E，O分别是SC、AC的中点，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，可得OE∥平面SAB；
（2）由平面SAC⊥平面ABC，结合面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ASC，可得BC⊥OE结合OE⊥SC及线面垂直的判定定理可得：OE⊥平面BSC，再由线面垂直的性质可得无论F在BC的何处，都有OE⊥SF
（3）由（2）中BC⊥平面ASC，可得AS⊥平面BCS，进而AS⊥SB，即∠BSC是二面角B-AS-C的平面角，解Rt△BCS可得二面角B-AS-C的平面角的余弦值．
解答：证明：（1）∵E，O分别是SC，AC的中点
∴OE∥SA
又∵OE?平面SAB，SA?平面SAB，
∴OE∥平面SAB                  …（3分）
（2）在△SAB中，
∵OE∥AS，∠ASC=90°
∴OE⊥SC
∵平面SAC⊥平面ABC，∠BCA=90°
∴BC⊥平面ASC，OE?平面ASC
∴BC⊥OE
∴OE⊥平面BSC
∵SF?平面BSC
∴OE⊥SF
所以无论F在BC的何处，都有OE⊥SF         …（8分）
解：（3）由（2）BC⊥平面ASC
∴BC⊥AS
又∵∠ASC=90°
∴AS⊥SC
∴AS⊥平面BCS
∴AS⊥SB
∴∠BSC是二面角B-AS-C的平面角
在Rt△BCS中，cos∠BSC=
所以二面角B-AS-C的平面角的余弦值为       …（14分）
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中（1）（2）的关键是熟练掌握空间线面垂直的判定定理，性质定理及几何特征；（3）的关键是构造出二面角的平面角．