Question

（2012•温州二模）如图，F₁，F₂是椭圆

x2

2

+y²=1的左、右焦点，M，N是以F₁F₂为直径的圆上关于X轴对称的两个动点．
（I）设直线MF₁、NF₂的斜率分别为k₁，k₂，求k₁•k₂值；
（II）直线MF₁和NF₂与椭圆的交点分别为A，B和C、D．问是若存在实数λ，使得λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|恒成立．若存在，求实数λ的值．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据F₁，F₂是椭圆

x2

2

+y²=1的左、右焦点，可得以F₁F₂为直径的圆的方程，再求出直线MF₁的斜率、直线NF₂的斜率，即可求得k₁k₂的值；
（II）设直线MF₁、NF₂的方程代入椭圆方程，分别求得|AB|、|CD|，利用λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|，可得

1

λ

=

1

|AB|

+

1

|CD|

，由此可求实数λ的值．

解答：解：（I）∵F₁，F₂是椭圆

x2

2

+y²=1的左、右焦点
∴|F₁F₂|=2，F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=1
设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），且x02+y02=1
∴直线MF₁的斜率为k₁=

y0

x0+1

，直线NF₂的斜率为k₂=

-y0

x0-1

，
∴k₁k₂=

y0

x0+1

×

-y0

x0-1

=

-y02

x02-1

=1；
（II）设直线MF₁的方程为y=k₁（x+1），直线NF₂的方程为y=k₂（x-1）
将y=k₁（x+1）代入椭圆方程，消去y可得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4k12

1+2k12

，x1x2=

2k12-2

1+2k12

∴|AB|=

1+k12

|x1-x2|=

2 2 (1+k12)

1+2k12

同理|CD|=

2 2 (1+k22)

1+2k12

=

2 2 (1+k12)

k12+2

∵λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|
∴

1

λ

=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1+2k12

2 2 (1+k12)

+

2+k12

2 2 (1+k12)

=

3

2 2

∴实数λ的值为

2 2

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线斜率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．