Question

在圆C：x²+y²=4上任取一点P，过P作PD垂直x轴于D，且P与D不重合．
（1）当点P在圆上运动时，线段PD中点M的轨迹E的方程；
（2）直线l：y=x+1与（1）中曲线E交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析：（1）设PD中点M（x，y），P（x′，y′），依题意

x=x′ y= y′ 2

，又点P在圆C：x²+y²=4上即可求得线段PD中点M的轨迹E的方程；
（2）联立直线l：y=x+1与（1）中曲线E组成方程组，设出A，B两点，通过韦达定理，利用弦长公式求|AB|的值．

解答：解：（1）设PD中点M（x，y），P（x′，y′），依题意

x=x′ y= y′ 2

⇒

x′=x y′=2y

       2分
又点P在圆C：x²+y²=4上，∴（x′）²+（y′）²=4即x²+4y²=4           4分
又P与D不重合，
∴PD中点M的轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1  (y≠0)．6分
（2）由题意

y=x+1 x2 4 +y2=1

消去y可得   5x²+8x=0                         8分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8

5

，x₁•x₂=0，10分
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

8 2

5

.12分

点评：本题是中档题，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查韦达定理的应用，弦长公式的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．