Question

【题目】已知两点，，动点与两点连线的斜率满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）是曲线与轴正半轴的交点，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）3个

【解析】试题（Ⅰ）求动点的轨迹方程的一般步骤：1．建系——建立适当的坐标系．2．设点——设轨迹上的任一点P（x，y）．3．列式——列出动点P所满足的关系式．4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程．

（Ⅱ）由题意可知设所在直线的方程为，则所在直线的方程为分别联立椭圆方程求得弦长，,再由得解方程即可

试题解析：（Ⅰ）设点的坐标为（）,则,, 2分

依题意,所以,化简得, 4分

所以动点的轨迹的方程为（）. 5分

注:如果未说明（或注）,扣1分.

（Ⅱ）设能构成等腰直角,其中为,

由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于轴,故可设所在直线的方程为,

（不妨设）,则所在直线的方程为7分

联立方程,消去整理得,解得,

将代入可得,故点的坐标为.

所以, 9分

同理可得,由,得,

所以,整理得,解得或11分

当斜率时,斜率；当斜率时,斜率；

当斜率时,斜率,

综上所述,符合条件的三角形有个. 14分