Question

【题目】如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和，上部是圆心为的劣弧，．

（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；

（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设与地面水平线所成的角为．记拱门上的点到地面的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拱门最高点到地面的距离为．（2），其最大值为

【解析】

（1）求出圆的半径，结合圆和RT△的性质求出拱门最高点到地面的距离即可；

（2）通过讨论P点所在的位置以及三角函数的性质求出h的最大值即可．

（1）如图，过作与地面垂直的直线交于点，交劣弧于点，的

长即为拱门最高点到地面的距离．

在中，，，

所以，圆的半径．

所以．

答：拱门最高点到地面的距离为．

（2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点．

当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆心到地面距离之和；

当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离．

由（1）知，在中，．

以为坐标原点，直线为轴，建立如图所示的坐标系．

当点在劣弧上时，．

由，，

由三角函数定义，

得 ，

则．

所以当即时，

取得最大值．

当点在线段上时，．设，在中，

，

．

由，得．

所以 ．

又当时，．

所以在上递增．

所以当时，取得最大值．

因为，所以的最大值为．

综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）．