Question

某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.
（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质；
（2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；
（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）易知函数在定义域上是增函数，函数值不大于130；（2）把前两年的数据即（1,100），（2,120）代入函数的解析式，解关于的方程组即可求出的值，再考查所得的函数是否具有（1）中的两条性质；（3）由（1,100），（2,120）两组数据，可得到的两个关系式，用表示，问题就转化为一个含有参数的函数具备两条性质，求参数取值范围的问题，可用导数知识和解决不等式恒成立问题的一般方法解决.
试题解析：（1）预测①：在上单调递增；
预测②：对恒成立；                             2分
（2）将（1，100）、（2、120）代入到中，得，解得.
5分
因为，所以，
故在上单调递增，符合预测①；                           7分
又当时，，所以此时不符合预测②.    9分
（3）由，解得.                        11分
因为，要想符合预测①，则，
即，从而或.                              12分
[1]当时，，此时符合预测①，但由，解得，
即当时，，所以此时不符合预测②；13分
[2]当，，此时符合预测①，又由，知，所以，从而.
欲也符合预测②，则，即，又，解得.
综上所述，的取值范围是.                                  16分