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    20.设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：

    （ⅰ）f（－1）=f（1）=0;

    （ⅱ）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

    （Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x;

    （Ⅱ）证明：对任意的u,v∈［－1，1］,都有|f（u）－f（v）|≤1；

    （Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得

    若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.

    20.

    （Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈［－1,1］时，有|f（x）|=|f（x）－f（1）|≤|x－1|=1－x,

    即x－1≤f（x）≤1－x.

     

    （Ⅱ）证法一：对任意的u，v∈［－1,1］,

    当|u－v|≤1时，有|f（u）－f（v）|≤|u－v|≤1.

    当|u－v|＞1时，u·v＜0.不妨设u＜0，

    则v＞0且v－u＞1.

    所以，|f（u）－f（v）|≤|f（u）－f（－1）|+|f（v）－f（1）|≤|u+1|+|v－1|=1+u+1－v

    =2－（v－u）＜1.

    综上可知，对任意的u,v∈［－1,1］,都有|f（u）－f（v）|≤1.

    证法二：由（Ⅰ）可得，

    当x∈［0,1］时，|f（x）|≤1－x.

    当x∈［－1,0］时，|f（x）|=|f（x）－f（－1）|≤1+x=1－|x|,

    所以，当x∈［－1,1］时，|f（x）|≤1－|x|

    因此，对任意的u,v∈［－1,1］,

    当|u－v|≤1时，|f（u）－f（v）|≤|u－v|≤1.

    当|u－v|＞1时，有u·v＜0且1＜|u－v|=|u|+|v|≤2,所以，|f（u）－f（v）|≤|f（u）|+|f（v）|

    ≤1－|u|+1－|v|=2－（|u|+|v|）≤1.

    综上可知，对任意的u,v∈［－1,1］，都有|f（u）－f（v）|≤1.

     

    （Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，

    则由|f（u）－f（v）|=|u－v|，u,v∈［,1］，得

    |f（）－f（1）|=|－1|=.

    又f（1）=0,所以|f（）|=.                                                     ①

    又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0.

    由条件|f（u）－f（v）|＜|u－v|,u,v∈［0, ］,得|f（）|=|f（）－f（0）|＜.                  ②

    ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.


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    ③y=f（x）在[0，1]上是增函数；
    ④f(
    12
    )=0    ．
    其中正确判断的序号是
     
    ．（把你认为正确判断的序号都填上）

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    （2）y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
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    如果将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有
    3
    3
    个．

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    （2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
    （Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
    （Ⅱ）判断函数g(x)=
    1+x，x∈[-1，0)
    1-x，x∈[0，1]
    是否满足题设条件；
    （Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
    若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

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    （2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
    （Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
    （Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
    （Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得
    |f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
    1
    2
    ]
    |f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
    1
    2
    ，1]
    ；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

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