Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是梯形，,,是正三角形，为的中点，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见证明（2）见解析

【解析】

（1）先证，由平面平面，可得平面；（2）以点为原点，分别以射线为轴，轴，轴正半轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设，用含的式子求出平面和平面的法向量，由二面角的余弦值为列方程解出，从而得出的值.

（1）证明：因为，且，

所以四边形是平行四边形，

从而，且，

又在正三角形中，，

从而在中，满足，

所以，

又平面平面，平面平面，平面．

所以平面，

（2）由（1）知，且，，平面，

从而平面，

又平面，平面，所以，

以点为原点，分别以射线为轴，轴，轴正半轴，建立空间直角坐标系，，

假设在棱上存在点满足题意，

设，则，

，

设平面的法向量，则，

取得，得，

有平面的一个法向量，所以，

从而，，，

因为，所以，

所以在棱上存在点使得二面角的余弦值为，且．