Question

已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．
（1）求的极值；
（2）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；
（3）当时，对于，求证：．

Answer 1

(1)当时，没有极值；
当时，存在极大值，且当时，.
(2).
(3)见解析.

解析试题分析：(1) 首先确定函数的定义域为，求导数．为确定函数的极值，应讨论，的不同情况.
(2) 首先求出，将问题转化成，使得成立，
引入，将问题可转化为：
利用导数求的最大值，得解.
(3)当时，，构造函数，即，
应用导数研究函数的单调性、极值，得到.
方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键.
试题解析：(1) 函数的定义域为，．
当时，，在上为增函数，没有极值；     1分
当时，，
若时，；若时，
存在极大值，且当时，
综上可知：当时，没有极值；当时，存在极大值，且当时，                       4分
(2) 函数的导函数，
，，              5分
，使得不等式成立，
，使得成立，
令，则问题可转化为：
对于，，由于，
当时，，，，
，从而在上为减函数，
        &nbs