Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+k=0（k＜5）；
（I）若k=1，圆C内有一点P₀（-2，3），经过P₀的直线l与圆C交于A、B两点，当弦AB恰被P₀平分时，求直线l的方程；
（II）若圆C与直线x+y+1=0交于P、Q两点，是否存在实数k，使OP⊥OQ（O为原点）？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）因为弦AB被点P₀平分，先求出OP₀的斜率，然后根据垂径定理得到OP₀⊥AB，由垂直得到两条直线斜率乘积为-1，求出直线AB的斜率，然后写出直线的方程．
（II）设出P，Q的坐标，根据OP⊥OQ可推断出

OP

•

OQ

=-1，把P，Q坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x_p+x_Q和x_p•x_Q，利用直线方程求得y_p•y_Q的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．

解答：解：（1）∵P0为AB的中点，OA=OB=r，∴OP₀⊥AB
又k=1时，C（-1，2），∴kOP0=-2，∴k_AB=1，∴直线AB的方程为x-y+5=0
（2）设点P（x_p，y_P），Q（x_Q，y_Q）
当OP⊥OQ时，Kop•K_OQ=-1⇒

OP

•

OQ

=-1⇒x_px_Q+y_py_Q=0
又直线与圆相交于P、Q⇒

x+y+1=0 x2+y2+2x-4y+k=0

⇒P、Q坐标是方程2y²-4y+k-1=0的两根有：y_P+y_Q=2，yPyQ=

k-1

2

从而有2y_Py_Q+y_Q+y_P=0，∴k=-2
且检验△＞O成立，故存在k=-2，使OP⊥OQ

点评：考查学生会根据倾斜角求出直线的斜率，综合运用直线与圆方程的能力，会根据一个点和斜率写出直线的方程．
本题主要考查了圆的方程的综合运用．本题的最后对求得的结果进行验证是不可或缺的步骤，保证了结果的正确性．