Question

（2009•普陀区一模）如图，已知圆C：x²+y²=r²与x轴负半轴的交点为A．由点A出发的射线l的斜率为k，且k为有理数．射线l与圆C相交于另一点B．
（1）当r=1时，试用k表示点B的坐标；
（2）当r=1时，试证明：点B一定是单位圆C上的有理点；（说明：坐标平面上，横、纵坐标都为有理数的点为有理点．我们知道，一个有理数可以表示为

q

p

，其中p、q均为整数且p、q互质）
（3）定义：实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”．
当0＜k＜1时，是否能构造“整勾股双曲线”，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成？若能，请尝试探索其构造方法；若不能，试简述你的理由．

Answer 1

分析：（1）当r=1时，可知A点坐标，就可设出直线l的点斜式方程，代入圆方程，解出B点坐标．
（2）由（1）中求出的用k表示点B的坐标，来判断，当k为有理数时，点B是否为有理点，当B为有理点时，k是否为有理数，证明中用到一个有理数可以表示为

q

p

，即若一个数是有理数，则这个数一定可以表示成

q

p

的形式，若一个数可以表示成

q

p

的形式，则这个数一定为有理数．
（3）先假设当0＜k＜1时，能构造“整勾股双曲线”，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成．由（2）中结论，可找到此双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距，都用含p，q，r的式子表示，其中，p，q，r均为整数，且p，q互质．据此求出k值，看是否为整数，若是，则假设成立，若不是，则假设不成立．

解答：解：（1）设点B的坐标为B（x₂，y₂）．由题意，点A的坐标为（-1，0），于是可设射线l的方程
为y=k（x+1），代入圆C的方程可得：x²+k²（x+1）²=1?（1+k²）x²+2k²x+（k²-1）=0．①
方程①中，一个解必为x=-1，则由根与系数关系可知点B的横坐标为x2=

1-k2

1+k2

；代入直线方程可得y2=

2k

1+k2

．∴点B的坐标即为(

1-k2

1+k2

，

2k

1+k2

)．
（2）充分性：设射线l的斜率k=

q

p

（其中p、q均为整数且p、q互质），则由（1）可知x2=

1-( q p )2

1+( q p )2

=

p2-q2

p2+q2

，y2=

2( q p )

1+( q p )2

=

2pq

p2+q2

．因为p、q均为整数，所以x₂、y₂必为一个有理数，从而B点必为一个有理点．
必要性：若B点为有理点，则可设x2=

q1

p1

，y2=

q2

p2

（其中p₁、q₁、p₂、q₂均为整数且p₁和q₁互质、p₂和q₂互质）于是，k=

y2

x2+1

=

q2

p2

•

p1

p1+q1

，因为p₁、q₁、p₂、q₂均为整数，所以k必为一个有理数．
（3）设B点的坐标为（x₂，y₂）．当0＜k＜1时，B点必定落在第一象限的四分之一圆周上，即x₂＞0，y₂＞0．而由x₂²+y₂²=r²，所以B的横坐标x₂、纵坐标y₂以及圆的半径r必能构成某个双曲线的一组实半轴长、虚半轴长和半焦距的数据．由（2）结论可知，此时点B的坐标应为

x2= |p2-q2 p2+q2 •r y2= 2pq p2+q2 •r

其中p、q此时均为正整数且p、q互质．
于是，只要构造圆半径r=（p²+q²）•m（其中m为正整数）时，则会有x₂=|p²-q²|•m，y₂=2pq•m，它们都为正整数，且满足x₂²+y₂²=r²．
因此，对于斜率为k=

q

p

（其中p、q均为整数，p＞q＞0且p、q互质）的斜线l，只需确定圆的半径满足r=（p²+q²）•m（其中m为正整数），则必定能构造“整勾股双曲线”满足题意．
特别地，因为当x₂=y₂时，点B坐标必为(

2

2

r，

2

2

r)，而此时射线l的斜率为k=

y2

x2+r

=

2

-1，不是有理数．∴构造出的双曲线一定不是等轴双曲线，即由x₂≠y₂，可构造的“整勾股双曲线”的实半轴长、虚半轴长和半焦距长可由

a=x2 b=y2 c=r

和

a=y2 b=x2 c=r

构成，且个数一定为偶数个．

点评：本题主要考查了直线与圆位置关系、冲要条件的证明，以及理解能力、推理能力，解题时要认真理解题意，仔细运算，本题有较大的思维量和运算量