Question

如图,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P-CD-B为45°.

(1)求证:AF∥平面PEC;

(2)求证:平面PEC⊥平面PCD;

(3)设AD=2,CD=2,求点A到平面PEC的距离.

Answer 1

剖析:对问题(1),关键是证明AF与平面PEC内的一条直线平行,为此可取PC的中点G,论证AF∥EG;对问题(2),可转化为证明线面垂直;对问题(3),可转化为求点F到平面PEC的距离,进而可以充分运用(2)的结论.

(1)证明:取PC的中点G,连结EG、FG.

    ∵F是PD的中点,

    ∴FG∥CD且FG=CD.

    而AE∥CD且AE=CD,

    ∴EA∥GF且EA=GF,

    故四边形EGFA是平行四边形,从而EG∥AF.

    又AF平面PEC,EG平面PEC,

    ∴AF∥平面PEC.

(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,

    ∴AD是PD在平面ABCD上的射影.

    又CD⊥AD,

    ∴CD⊥PD,∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角.

    ∴∠ADP=45°,则AF⊥PD.

    又AF⊥CD,PD∩CD=D,

    ∴AF⊥平面PCD.

    由(1),EG∥AF,

    ∴EG⊥平面PCD.

    而EG平面PEC,

    ∴平面PEC⊥平面PCD.

(3)解:过F作FH⊥PC交PC于点H,又平面PEC⊥平面PCD,则FH⊥平面PEC,

    ∴FH为点F到平面PEC的距离,而AF∥平面PEC,故FH等于点A到平面PEC的距离.

在△PFH与△PCD中,

    ∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC为公共角,

    ∴△PFH∽△PCD,=.

    ∵AD=2,CD=2,PF=,PC==4,

    ∴FH=·2=1.

    ∴点A到平面PEC的距离为1.