Question

【题目】已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=4， 求证：|ac+bd|≤2．

Answer 1

【答案】证明：证法一：要证|ac+bd|≤2成立， 只要证（ac+bd）2≤4即可，
只需证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）即可，
即证2acbd≤a2d2+b2c2 ，
即证（ad﹣bc）2≥0，
由题知a，b，c，d都是实数，（ad﹣bc）2≥0显然成立．
故|ac+bd|≤2．
证法二：（ac+bd）2﹣4=（ac+bd）2﹣（a2+b2）（c2+d2）
=2acbd﹣a2d2﹣b2c2=﹣（ad﹣bc）2 ，
由题知a，b，c，d都是实数，（ad﹣bc）2≥0，
即ac+bd）2﹣4≤0，
故|ac+bd|≤2．
证法三：设a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ（α，β∈R），
则|ac+bd|=|2cosαcosβ+2sinαsinβ|
=2|cosαcosβ+sinαsinβ|=2|cos（α﹣β）|≤2，
故|ac+bd|≤2
【解析】方法一、运用分析法证明，可通过两边平方，完全平方公式即可得证；方法二、运用作差比较法，结婚条件和配方即可得证；方法三、运用三角换元法，可令a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ（α，β∈R），运用两角差的余弦公式，以及余弦函数的值域即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解不等式的证明的相关知识，掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．