Question

【题目】在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，，则在这个红色子数列中，由1开始的第1000个数是_________

Answer 1

【答案】1968

【解析】

记第次染色的最后一个数字为，由题可得，第次染色共染了个数字，且第次染色的最后一个数字为，求出前次染色数字的个数之和为：，即可判断第1000个数在第次染色的数字中，求得第次染色的最后一个数字为：，所以第1000个数是第次染色中的第个数偶数，问题得解。

记第一次染色：染1；共1个数，且所染数字都是奇数。

第二次染色：染3个偶数2，4，6；共3个数，且所染数字都是偶数。

第三次染色：染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；共5个数，，且所染数字都是奇数。

第四次染色：染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；共7个数，且所染数字都是偶数。

则第次染色：共个数字，，且所染数字与的奇偶性相同。

每次染数的个数依次构成一个等差数列，

前次染色数字的个数之和为：

令，则

所以第1000个数字在第次染色的数字中

记第次染色的最后一个数字为，由题可得：，，，，……，依次类推

所以第次染色的最后一个数字为：，且前次染色数字的个数之和为：，

所以第1000个数在第次染色中的第位数字，

即从之后的第个偶数，

所以由1开始的第1000个数是：