Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+2．
（Ⅰ）若a=-1，令函数g（x）=2x-f（x），求函数g（x）在（-1，2）上的极大值、极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒为单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数g（x）=2x-f（x）的导函数，利用导函数求出原函数的单调区间，进而求出其极大值、极小值；
（Ⅱ）先求出其导函数，把函数f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒为单调递增函数，转化为其导函数的最小值恒大于等于0，利用二次函数在固定区间上求最值的方法求出导函数的最小值，再与0比即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=2x-（x³-x²+x+2）=-x³+x²+x-2，所以g'（x）=-3x²+2x+1
由g'（x）=0得x=-

1

3

或x=1（12分）

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	- 59 27	↗	-1	↘

所以函数g（x）在x=-

1

3

处取得极小值-

59

27

；在x=1处取得极大值-（16分）
（Ⅱ）因为f'（x）=3x²+2ax+1的对称轴为x=-

a

3

（1）若-

a

3

≥-

1

3

即a≤1时，要使函数f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒为单调递增函数，则有△=4a²-12≤0，解得：-

3

≤a≤

3

，所以-

3

≤a≤1；（8分）
（2）若-

a

3

＜-

1

3

即a＞1时，要使函数f（x）在(-

1

3

，+∞)上恒为单调递增函数，则有f(-

1

3

)=3•(-

1

3

)2+2a•(-

1

3

)+1≥0，解得：a≤2，所以1＜a≤2；（10分）
综上，实数a的取值范围为-

3

≤a≤2（12分）

点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．